«Основы математики доступны большинству умных людей»

Алексей Савватеев о математике, которую должен знать каждый

Тема «Фундамент математики» вошла по результатам голосования в топ-33 важнейших научных тем. Математика, одна из самых сложных дисциплин сама по себе и особенно сложная для популяризации, остается востребованной не только среди школьников и специалистов. Но что изучать тому, кто последний раз видел математику в школьном учебнике? Что в этой теме самое важное для научной картины мира? Об этом рассказал доктор физико-математических и кандидат экономических наук, автор канала «Маткульт-привет» Алексей Савватеев. 

Проценты, дроби и немного геометрии

Я очень рад, что математика вошла в список важнейших тем. Хотя мы понимаем, что математическое знание, которое предлагаю в том числе я, предназначено для 10–20% населения, для тех, кто действительно хочет разобраться в том, как устроен мир.

Всем преподать математическое знание не получится. Всенаука — она ведь тоже не для всех, а только для тех, кому интересно разобраться в устройстве мира. Большинство же людей — это такие «юзеры», которые будут пользоваться технологиями, но им не интересно, как они на самом деле устроены (даже среди формально образованных людей таковых большинство). Но тех, кому математика действительно интересна, нужно хорошо обучить и в первую очередь преподать им принципы проведения математических доказательств и основы нашего языка.

Я, например, консультирую Сбербанк по теории игр. Теория игр может быть Сбербанку сама по себе и не нужна, но люди, которые слушают мои семинары, расширяют свой интеллектуальный горизонт. Чистая математика наводит человека на волну правильных интеллектуальных рассуждений. Правда, чтобы понять этот уровень, нужно освоить базис математики — как раз те принципы математического мышления, которые озвучены в теме Всенауки.

На умении считать, на простой арифметике польза математики не заканчивается. Кроме счета есть довольно тонкая концепция процента. Я был бы рад увидеть страну, где 100% населения понимают, что такое процент. Имеется в виду свободное владение этой концепцией. Например, когда спрашиваешь, что означает «рост экономики ускорился (или затормозился) на столько-то процентных пунктов» и чем это отличается от «роста показателя на столько-то процентов», мало кто способен ответить правильно. Я боюсь, что процентов 15–20% населения понимают разницу между этими утверждениями. Если прирост населения (в год, скажем) был 10% и вырос на 20%, то это означает, что прирост населения стал 12%. А если рост вырос на 20 процентных пунктов — значит, он стал 30%. Почувствуйте разницу. Представьте себе, что вы читаете газету об экономических показателях и не способны различить эти два утверждения. Вы просто не сможете понять написанное. 

Среди таких чисто практических знаний о математике в первую очередь необходимо понимать, что такое процент, экспонента и дроби. И возможно, начала плоской геометрии. Чтобы, например, хорошо ориентироваться в городе и на местности. Вот какой-нибудь математик бегает по городу, пытаясь проложить кратчайший маршрут, а потом приходит домой и думает: «Уф, как я забегался. Дай-ка я попытаюсь решить задачу в произвольном метрическом пространстве, можно ли без перебора всех путей найти самый короткий». И он уже в этих произвольных метрических пространствах, а не на плоской Москве. Но если математик решит теоретическую задачу, он потом решит и любую практическую. Математика — это всегда очень глубокая абстракция того, что происходит в жизни. 

Математика как язык интеллектуала

Математика является составным кирпичиком для всех остальных наук. Говорят, что математика — это и служанка, и царица всех наук. В ней в большей степени, чем в остальных научных направлениях, играют роль интеллектуальные рассуждения, поэтому она наиболее приспособлена к тому, чтобы воспитать их культуру в человеке. 

Тот, кто хоть немного знаком с математикой, и по жизни рассуждает более грамотно и непротиворечиво, стремится уменьшать количество противоречий в возникающих вопросах, старается все разложить по полочкам. Это помогает во всех сферах, начиная с задачи построить маршрут по городу и завершая структурированием знаний в голове (а без структуризации знания — это просто хлам «на вашем чердаке»).

Для грамотного рассуждения нужно в принципе понимать структуру нашего логического языка. Наш язык — это язык множеств, функций, отображений и аксиом. Я записал на своем канале курс из пяти лекций о принципах математического мышления. Фактически мы его создали как ответ на вопросы Всенауки из темы «Фундамент математики». Это именно то, что должен знать каждый, — концепция множеств, отображений, логических высказываний, как отличить правильное высказывание от неправильного.

Например, такие три утверждения: «Если в Москве проживает 100 миллионов человек, то все крокодилы в Москве-реке красные»; «Если в Москве проживает более 100 миллионов человек, то все крокодилы в Москве-реке синие»; «Если в Москве проживает более 100 миллионов человек, то все крокодилы в Москве-реке зеленые». Сколько из этих утверждений верны? Обычный человек, скорее всего, скажет, что верно только третье утверждение, где говорится о том, что все крокодилы в Москве-реке зеленые. Но исходя из математических принципов мышления, верны все три утверждения. Потому что из неверного утверждения может следовать что угодно. Хотя эта идея может быть понята (и принята человеком) не сразу, наш язык в принципе по-другому построить нельзя, без этого мы не продвинемся далеко в изучении математики. Такие логические основы математики доступны любому умному человеку.

Популяризация для избранных

Популяризация математики — задача не из простых. Первый вопрос — как заинтересовать аудиторию какими-то формулами и сложными логическими конструкциями? Распространено такое мнение (или даже восприятие), что математика — это что-то очень далекое от повседневной жизни. Это не так — целые книги написаны о практической пользе математики.

Но мои лекции устроены, как правило, иначе: я не решаю такую задачу, как «заинтересовать слушателя». Моя аудитория меня везде найдет! В каждом городе, где я выступаю, собирается примерно по человеку на 10 000 жителей (бывает и сильно больше), то есть в типичном городе-миллионнике у меня на лекциях по 100–150 человек. Эти люди отобраны не случайным образом, они для меня «уже посвященные».

И вот с такими слушателями можно достигать внушительных высот! Случается, что в течение одной лекции мы разбираем в общих чертах какую-нибудь весьма нетривиальную теорему Гаусса или Ферма, а потом слушатели уже возвращаются к ней, чтобы понять ее вместе с доказательством, а не просто «очароваться» ее формулировкой и красотой. Мои лекции всегда «на вырост» — если кто-то на лекции понял все, что я сказал, для меня это неудача (за исключением тех случаев, когда мои коллеги приходят посмотреть, как я лекции читаю). 

Типичный миф о математике, который раздражает больше всего остального, — «а что там изучать, компьютер уже все открыл!». Профанское представление о математике, что там уже не осталось никаких нерешенных задач, потому что компьютер мыслит быстрее нас и уже в шахматы выигрывает, значит, и математику уже всю прорешал. На самом деле компьютер только породил кучу новых задач. Он смог помочь в некоторых случаях, когда требовался элементарный перебор, но в остальном он только обогатил математику новыми нерешенными проблемами, которые он смог всего лишь сформулировать. 

Нерешенных задач в математике как было, так и остается огромное количество. Найдется для каждого, кто заинтересовался математикой после хорошей лекции или книжки.

Что почитать об основах математики: рекомендации Алексея Савватеева

P.S. Дополнительная задачка для тех, кто дочитал до конца:

«Все крокодилы в Москве-реке красные»;

«Все крокодилы в Москве-реке синие»;

«Все крокодилы в Москве-реке зеленые».

Сколько из этих утверждений — верные?