Стивен Кранц «Изменчивая природа математического доказательства»

Укорот в изложении Евгении Воробьевой

Доказательство и вкус пудинга

Стивен Кранц — математик. Он преподавал во многих американских и европейских университетах. Писал статьи, в основном посвященные теории функций комплексного переменного. Кранц написал больше ста книг. В основном это монографии и университетские учебники, но среди этого моря есть и научно-популярные книги. Об одной из них мы поговорим.

Русское название книги «Изменчивость математического доказательства» — это подзаголовок английского издания. Название у английской книги довольно прихотливое. Перевести его на русский сложно, видимо, поэтому издатели решили не рисковать и его просто отрезали. Если перевести английское название дословно, получится какая-то глупость. Что-то вроде: «Доказательство — это съеденный пудинг» (The Proof is in the Pudding). Кранц имеет в виду английскую поговорку «Чтобы распробовать пудинг, надо его съесть» (The proof of the pudding is in the eating). В общем, непереводимая игра слов.

И поговорка, и название книги начинаются английским словом proof. Оно имеет два довольно сильно отличающихся значения: это и «доказательство», и «проба». То есть название можно приблизительно пересказать таким образом: «Чтобы доказательство распробовать, его надо съесть, как пудинг».

Для Кранца сближение между «доказывать» и «пробовать» оказывается очень важным. Фактически автор хочет сказать: чтобы почувствовать вкус доказательства — нужно доказывать. Иначе никак не получится.

Математики — это люди, которые чувствуют вкус доказательства. Они его воспринимают не как абстракцию, а живо и непосредственно, как пудинг. И в своей книге Кранц делает попытку этот вкус передать.

Аксиомы

Об аксиомах мы все слышали еще из школьного курса геометрии. Это такие первоначальные допущения, из которых выводятся все остальные результаты — теоремы. Собственно, процесс вывода теорем из аксиом — это и есть доказательство в его строгой форме. Аксиомы впервые ввел Евклид больше двух тысяч лет назад. Евклид положил в основание всей своей геометрии несколько утверждений, которые он считал настолько очевидными, что в них нельзя сомневаться. Первая аксиома в Евклидовых «Началах» звучит так: «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию». Действительно, очевидно.

Чем меньше в математической теории аксиом, тем она строже. Аксиома — это предмет веры, а математики стараются ничего на веру не принимать. Но что-то принимать все равно приходится, иначе не на что опереться.

С аксиом начинается не только евклидова геометрия. Кранц приводит более новый пример. Это — аксиоматика теории вероятностей, которую построил в 1930-е годы математик Андрей Колмогоров. Проиллюстрируем главную аксиому великой колмогоровской теории.

Представьте себе такую картинку. В салун приходит ковбой. У него в кобуре верный кольт. Ковбой крепко выпивает и решает пострелять. На стене висит мишень. Максимум, на что хватает нашего героя, — это выпустить пулю в сторону стены. Понятно, что чем мишень больше, тем выше вероятность, что ковбой в нее попадет. Если площадь первой мишени один квадратный метр, а площадь второй — два квадратных метра, вероятность попасть во вторую мишень в два раза больше, чем в первую. Вероятности складываются, как площади. Это настолько очевидно, что не вызывает никаких сомнений.

Вот на такой простой аксиоме Колмогоров и строит богатейшую теорию.

Другое дело, что далеко не все, что кажется нам очевидным, является таковым на самом деле. Евклидову геометрию используют больше двух тысяч лет. Но когда Давид Гильберт в конце XIX века решил эту заслуженную теорию как следует проверить, ему пришлось практически полностью перестроить всю ее аксиоматику. У Евклида концы с концами никак не сходились.

Логический вывод

Как из аксиом выводятся теоремы? Кранц описывает главное правило вывода, которое математики используют еще со времен Аристотеля. Оно поразительно простое. На латыни главное правило вывода называется модус поненс. Конечно, его можно изложить строго формально, но суть у него примерно такая.

Представьте, что перед вами лежит лист белой бумаги. Вы берете ножницы и вырезаете из этого листа любую фигуру. Согласно правилу модус поненс эта фигура будет белого цвета. Это достаточно строгое доказательство.

Есть пример, который использовал еще Аристотель. «Все люди смертны. Сократ — человек. Значит, Сократ — смертен». Это полная аналогия с нашим листом бумаги.

Вот такими, прямо скажем, скудными средствами математики пользовались и пользуются, чтобы построить огромное и прекрасное здание математики.

Берем аксиомы, применяем модус поненс и получаем новое строго доказанное утверждение. Это такой крепкий клей, что посаженные на него теории держатся тысячелетиями.

Доказать можно не все

Математика существует по крайней мере три тысячелетия. За это время она в целом устоялась и, кажется, даже окаменела. Но иногда ее здорово трясет. Последний раз это случилось примерно сто лет назад, в 20-е годы XX века. Кранц довольно подробно рассказывает об этом сотрясении основ.

Тогда на сцене мировой математики сошлись три титана — Давид Гильберт, Лёйтзен Брауэр и Курт Гёдель. Наверно, Гёдель очень бы удивился, если бы ему сказали, что он «титан». Он был худеньким юношей, которому едва исполнилось двадцать. Но из этой великой тройки самый глубокий след в мировой науке оставил именно он. Полем битвы было как раз математическое доказательство.

Гильберт решил навести в математике порядок. Он хотел построить строгую теорию математического доказательства. Его вдохновляла работа над геометрией Евклида, в которой Гильберт порядок навел. Гильберт предложил «формальную программу» перестройки математики: чтобы любое доказательство в любой области математики выводилось из единого набора аксиом.

В тот момент Лёйтзен Брауэр занимался нормальной математикой, и основания математики его интересовали мало. Он доказал совершенно замечательную теорему. Сформулируем ее. «Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку». Доказательство понравилось всем, кроме самого Брауэра. Это было так называемое «доказательство чистого существования». Брауэр фактически доказал немного другое утверждение: если мы предположим, что такой неподвижной точки нет, то мы придем к противоречию. Это так называемое «доказательство от противного». Вместо того, чтобы доказывать наше утверждение, мы доказываем, что его отрицание приводит к противоречию. Этот тип доказательств обосновал еще Аристотель. Так были доказаны тысячи важнейших математических результатов.

Доказательство от противного опирается на принцип исключенного третьего, то есть верно либо утверждение, либо его отрицание. Представьте мир, где все предметы либо черные, либо белые. И никаких друг цветов нет. Тогда, если предмет «НЕбелый», это автоматически означает, что он черный. Сказать, что «предмет НЕ НЕбелый», — это все равно что сказать «предмет белый». Это — правило «снятия двойного отрицания». Математики так работали всегда, и всех это устраивало. Но не Брауэра.

Никакой инструкции, как найти неподвижную точку, в своей теореме Брауэр не предъявил. Его это очень мучило. И он решил изменить не только свое доказательство, но всю математику. Брауэр построил другую логику. Там есть утверждения истинные, ложные и неустановленные. В ней доказательство от противного не работает. Правило снятия двойного отрицания тоже не работает. То есть «НЕ НЕбелый» не обязательно черный. Способ доказательства в такой логике только один: надо предъявить механизм, который демонстрирует верность утверждения. Например, в теореме самого Брауэра надо показать, как искать неподвижную точку. Логика, построенная Брауэром, получила название «интуиционизм».

Гильберт сказал: «Запретить математику доказательство от противного — все равно что запретить боксеру пользоваться кулаками».

Авторитет Гильберта был велик. Интуиционизм долго оставался маргинальной логической системой. Но по мере развития теории алгоритмических языков, комбинаторных методов и различных направлений компьютерной математики стало понятно, что система, предложенная Брауэром, более надежна и эффективна.

Курт Гёдель окончательно похоронил «формальную программу» Гильберта. Гёдель доказал, что почти в любой логической системе существуют истинные, но недоказуемые утверждения. Это знаменитая «теорема о неполноте». Кранц формулирует это недоказуемое утверждение так: «Z гласит, что Z недоказуемо».

Если Z ложно, значит, Z можно можно доказать. Но в логической системе доказываются — или, как говорят логики, выводятся — только истинные утверждения. Мы пришли к противоречию. Значит Z — истинно. Но тогда мы получили пример истинного, но недоказуемого утверждения. Формулировка Кранца не вполне строгая, но идея Гёделя именно такая.

Это было настоящее землетрясение. Из теоремы Гёделя следовало, что математика со всеми ее аксиомами и правилами вывода не вполне справляется сама с собой. Гильберт был разочарован.

Математики продолжали пользоваться традиционными методами, но теперь они знали, что есть вещи, которые не стоит пытаться доказывать.

Математический эксперимент

Разговор о методах работы современного математика, в том числе о математических экспериментах, Кранц начинает издалека.

Тихо Браге — великий астроном-наблюдатель XVI века — всю жизнь смотрел на небо и записывал координаты планет на небесной сфере. После его смерти доступ к огромному архиву записей Браге получил Иоганн Кеплер. Он на небо вообще не смотрел. Он сидел и сутками читал записи Браге. Тысячи чисел, сотни тысяч чисел. Сначала мелькнула догадка. А потом Кеплер просто написал свои знаменитые законы движения планет. И все числа, записанные Браге, вдруг выстроились в элегантные эллипсы планетных орбит.

Сегодня математик работает подобным образом, только роль Тихо Браге выполняет компьютер. Математик строит числовые модели, варьирует параметры. Рассматривает картинки, построенные с помощью компьютерной графики. Математик наблюдает числа. Почти как Кеплер. Потом математик о чем-то догадывается и формулирует гипотезу. Теперь ее надо доказать. Никак иначе она не может стать фактом математического мира. Дальше все по старинке: аксиомы, модус поненс, шаг за шагом. Хорошо бы, конечно, и для этого процесса приспособить компьютер.

Кранц перечисляет целый набор математических пакетов, которые кое-что уже умеют доказывать. Уже есть примеры доказательств, которые были выполнены с помощью машин. Например, без компьютера невозможно было бы решение задачи Кеплера о плотной упаковке шаров.

Доказательство меняется. В Древнем Вавилоне считалось, что для полной убедительности достаточно одной простой картинки. Со временДревней Греции и до наших дней считается, что нужно предъявить строгую цепочку логических следствий.

Но, кажется, мы подходим к новому времени. В некоторых случаях с помощью машины можно построить все существенно различные вариации данной математической модели. Раньше казалось, что это невозможно, как вычерпать море. Сегодня так не кажется. Такое построение тоже можно считать доказательством.

Неформальная математика

Кранц подробно рассказывает о работе математиков. Он замечает, что в последние десятилетия математики стали немного демократичнее. Они иногда выходят из своих хрустальных дворцов и разговаривают с людьми. Например, сам Кранц с удовольствием работает с пластическими хирургами. Тело человека — это поверхность в трехмерном пространстве, или, как говорят математики, «трехмерное многообразие». С такими объектами математики работать умеют.

Кранц обсуждает и коммуникации внутри математики. Главный результат работы математика — это статья, опубликованная в журнале. Кранц задается вопросом: почему математики в своих статьях часто пропускают шаги рассуждений, которые по всем правилам обязательны?

Кранц приводит пример выдающейся математической работы. В ней три толстенных тома. Каждый шаг строго доказан. В ней почти нет комментариев. Только формулы. Эту работу написали два великих математика. У нее только один недостаток — ее невозможно читать. Прошло более ста лет после выхода фундаментального труда Бертрана Рассела и Альфреда Уайдхеда «Принципы математики». Но людей, которые прочитали эту фундаментальную работу, совсем немного. Даже среди профессионалов, которые занимаются основаниями математики. Это показательный пример.

Математическая работа адресуется не только математике самой по себе. Она еще и адресуется коллегам-математикам. Они — люди. Чтобы почувствовать суть и ощутить вкус, им необходимо что-то еще кроме формул. Хотя бы примеры, комментарии и, как ни странно, пропущенные шаги. Когда математик читает чужую работу, он заново проделывает все выводы, которые не смог понять сразу. И ему надо, с одной стороны, дать пищу для ума, а с другой — проиллюстрировать работу известными ему фактами. За первое отвечают пропущенные шаги в доказательствах, за второе — комментарии и примеры. Они позволяют почувствовать и пережить чужую мысль как свою.

Зачем нужны доказательства

В школе мы все проходили теорему Пифагора. Нас учили ее доказывать. Некоторые, кому особенно не повезло, отвечали это доказательство у доски. Кто-то закончил школу и постепенно узнал еще сто доказательств этой теоремы. Таких людей немного — это математики. Нормальные люди забыли не только доказательство, но и формулировку великой теоремы. Мы ее напомним: «В любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы». Катеты и гипотенуза — это греческие названия сторон треугольника. Это можно забыть, и это не слишком важно. По-настоящему важно в этой формулировке только одно слово: «в любом».

Это ведь очень странно. Прямоугольных треугольников — бесконечно много. Почему математики уверены, что свойства этих треугольников не изменятся через миллион лет? И вообще: разве можно что-то утверждать о бесконечном количестве объектов?

Единственный надежный инструмент, который позволяет нам делать истинные утверждения о бесконечном числе объектов, — это математическое доказательство. Если доказательство проведено по всем правилам, значит, установленное свойство бесконечного числа объектов будет верно всегда. Не только царства падут, но и Солнце погаснет, а Пифагор останется прав.

Наверное, это и есть главное свойство математического доказательства, как бы его форма ни менялась.

Стивен Кранц замечает: «Все сказанное может скоро устареть». Конечно, может, ведь мы говорили слова, а не писали доказательство.

Заинтересовались книгой и хотите прочесть целиком? Скачайте бесплатно на Всенауке.